LED模擬效率改善新方法：二維徑向簡(jiǎn)化

        本文利用RSoft之FullWAVE與LEDs Utility仿真不同結構的發(fā)光二極管(Light EmittingDiodes, LEDs)之發(fā)光效率，并比較二維模擬與三維模擬的差異性與優(yōu)缺點(diǎn)。

        介紹

         發(fā)光二極管LED于50年前被發(fā)明時(shí)，并沒(méi)有廣泛應用于日常生活中。如今，藉由不斷地改良與推陳出新，LED已被推廣至許多常見(jiàn)應用上，其中更以固態(tài)照明和顯示器市場(chǎng)最為重要。然而，即使LED在日常生活中有著(zhù)無(wú)遠弗屆的影響力，它還是存在著(zhù)一些限制與缺點(diǎn)。其中最值得注意的就是LED在二極管基板發(fā)出的光源很不容易被萃取至外界，也就是LED有著(zhù)不高的光萃取率(Light Extraction Efficiency)。為克服這缺點(diǎn)，學(xué)界與業(yè)界正嘗試著(zhù)模擬并制作不同的表面結構來(lái)增進(jìn)其光萃取率。然而，因三維結構(3D)在計算上是繁復且耗時(shí)的模擬過(guò)程，因此，新一代的二維模擬(2D)方法被用來(lái)測試立體結構的初步結果，以節省計算器資源并加速研發(fā)測試過(guò)程。

         造成LED低萃取率的主要原因為：從二極管基板產(chǎn)生的光在穿透外層接口時(shí)，因全反射的發(fā)生而無(wú)法全數通過(guò)該接口，造成低穿透的現象。全反射發(fā)生的原因為基板之折射率(n)與外界折射率差異甚大，造成光接觸接口時(shí)，臨界角內之光源被反射回基板，剩下少部分的光才得以穿透至外界。以理論值計算時(shí)，LED光萃取率限制最高為n2/4。以砷化鎵LED為例，其萃取率被限制低于2%；以氮化鎵LED為例，其萃取率被限制低于4%。

         為了突破這限制，不同的表面結構被研究于改善LED的光萃取率。舉例來(lái)說(shuō)，來(lái)自L(fǎng)G Innotek的S. David Roh在2012年的ACP研討會(huì )上發(fā)表數百種表面結構對萃取率之影響的研究結果。即使大部分的研究者為了減少實(shí)際制程的花費，使用仿真軟件測試LED的表面結構設計，但并非全部的研究者皆使用仿真軟件來(lái)進(jìn)行設計。原因也許是因為LED在模擬部分是屬于非常復雜的計算，而使用者還沒(méi)有找到適合且方便的軟件來(lái)輔助其計算。

        其復雜的原因在于LED光源是一個(gè)在時(shí)間與空間上非同調性的光源，且沒(méi)有特定偏振方向。為處理這種非同調性與非特定偏振的光源問(wèn)題，時(shí)域有限差分法(Finite-Difference Time-Domain, FDTD)被用來(lái)計算每個(gè)點(diǎn)、每個(gè)波長(cháng)與每個(gè)偏振的電磁場(chǎng)，并將其迭合處理成與實(shí)際光源相似之電磁場(chǎng)。為了處理這種復雜的光源計算，RSoft在其模擬套件FullWAVE上開(kāi)發(fā)了一套LED Utility，提供使用者一個(gè)方便、快速且準確的模擬環(huán)境來(lái)進(jìn)行LED的結構設計。

        然而，完整的三維模擬在計算上需耗費許多時(shí)間與內存。舉例來(lái)說(shuō)，利用多核心計算器來(lái)模擬一個(gè)典型的LED結構，估計需耗費數千兆位的內存與數小時(shí)的時(shí)間。除此之外，若研究者須針對不同波長(cháng)、偏振與結構設計進(jìn)行優(yōu)化處理，則至少需要花費數天的時(shí)間來(lái)模擬。

        為了提高模擬效率和減少模擬成本，本篇文章介紹一個(gè)在2012年ACP會(huì )議上發(fā)表的簡(jiǎn)單作法：相較于傳統的三維模擬，我們假設多數LED有圓對稱(chēng)性(circularly symmetry)，因此可以利用二維模擬來(lái)進(jìn)行不同設計的成果檢測，估計可以減少數千至數百倍的模擬時(shí)間。

        模擬步驟簡(jiǎn)介

        在此介紹中，我們先介紹典型的三維模擬步驟，再進(jìn)而介紹簡(jiǎn)化版的二維模擬方法。在LED的激發(fā)過(guò)程中，光子因每個(gè)不同的電子電洞對的結合而產(chǎn)生，在相位、同調性與偏振上皆沒(méi)有一定的規則。因此，LED產(chǎn)生的光源是空間時(shí)間非同調且非特定方向偏振的光源。在FDTD模擬中，利用Monte Carlo方法來(lái)設計非同調性的電磁場(chǎng)是普遍的作法，但卻所費不貲。原因是在偶極矩上的相位變化速度遠慢于電磁場(chǎng)之周期，因此需要長(cháng)時(shí)間的模擬才能達成。另一個(gè)更好的方法則是結合許多不同的偶極矩來(lái)創(chuàng )造一個(gè)非特定偏振且非同調性的電磁場(chǎng)。

        所謂的「非特定方向偏振」電磁場(chǎng)指的是電磁場(chǎng)「均勻地」向四面八方偏振。為了創(chuàng )造出這樣的電磁場(chǎng)光源，必須將三個(gè)互相垂直的偏振方向迭加在同一個(gè)空間，如圖1。
 

         從圖1上可以清楚看出在模擬每個(gè)點(diǎn)光源時(shí)，三種不同偏振方向的偶極矩都需要加入運算，以達到其非特定偏振的光源特性。然而，對某些LED來(lái)說(shuō)，光子并不會(huì )往每個(gè)方向上輻射。以氮化鎵LED為例，在晶軸方向上就不會(huì )有光子輻射出去，因此在模擬上只需要兩種偏振方向的偶極矩即足夠。

          在另外一方面，每個(gè)LED所產(chǎn)生的光子在相位上都各自獨立，因此若要各別模擬的話(huà)則需要大量時(shí)間。但若是在每個(gè)偶極矩上以固定的相位差去做模擬，則無(wú)法造成在空間上非同調性的電磁光源。因此，在模擬多偶極矩的過(guò)程中，每個(gè)偶極矩皆需各別模擬，以達到非同調性的特性。

         在時(shí)間同調性方面，通常會(huì )使用同調長(cháng)度(coherent length)來(lái)決定其同調性。LED光源在頻譜上有著(zhù)比雷射還要廣的帶寬，而在萃取率與輻射圖案上，如圖2所示，更有著(zhù)頻率的相關(guān)性。圖2仿真著(zhù)不同頻率的LED光源之輸出光場(chǎng)的不同。
 

        萃取率R跟遠場(chǎng)的輻射函數ψ(θ,φ)可以藉由取得每個(gè)波長(cháng)相關(guān)的萃取率與輻射函數后，將LED頻譜加權平均而得之，如方程式(一)所示：

        其中的N代表取點(diǎn)總數，而平均結果如圖3所示。

         如前述所提，對LED進(jìn)行完整的FDTD模擬需要耗費許多計算資源，特別是在為了提升光萃取率，而針對不同的表面結構設計所做的仿真。圖4即是平面(Flat)與結構(patterned)的LED針對光萃取率的比較曲線(xiàn)。在結構LED上，常利用光柵式結構將光導出二極管基板，提高光萃取率。從圖中可看出，平面結構LED只需比較少的計算空間(domain)即可算出萃取率，而結構式LED則需較大的計算空間，意即需要更多的計算資源才能算出正確的光萃取率。

         因此，為節省模擬時(shí)間與提高效率，一個(gè)可以簡(jiǎn)化模擬過(guò)程的近似被開(kāi)發(fā)出來(lái)。這個(gè)簡(jiǎn)化的近似就是二維(2D)模擬。這種將三維模擬簡(jiǎn)化至二維的近似適用于許多光學(xué)模型，而其中以LED這種具有圓對稱(chēng)性的模型更為適合。

         然而，如圖5所示，一般的二維簡(jiǎn)化完全地改變了整個(gè)模型。該模擬中將一個(gè)常用于改進(jìn)光萃取率的光子晶體結構，簡(jiǎn)化成一維的光柵結構。更重要的是，它將點(diǎn)光源轉換成線(xiàn)光源。最后，該簡(jiǎn)化造成二維模擬與三維模擬有很不一樣的結果。
 

         有鑒于此，二維模擬的簡(jiǎn)化需要建筑在「徑向簡(jiǎn)化」上。常被使用的光子晶體表面結構，不論是六角柱或是晶格排列，都可視為圓狀的布拉格光柵。布拉格光柵會(huì )在平面方向上產(chǎn)生一個(gè)能隙，迫使電磁場(chǎng)往外傳遞，提高光萃取率。因此，二維的徑向簡(jiǎn)化模擬與實(shí)際問(wèn)題較為符合，如圖6所示。

         為了確認該簡(jiǎn)化假設是否能成立，三種不同的模擬方法被測試于平面結構LED之萃取率曲線(xiàn)。分別為：二維線(xiàn)坐標簡(jiǎn)化、二維徑向簡(jiǎn)化與三維模擬。如圖7所示，二維徑向(2D Radial)的結果與三維(3D)模擬結果吻合，而二維線(xiàn)坐標(2D)則如前述，與實(shí)際三維結果相差甚大。

        同樣的測試也用在具有表面結構的LED模型上，結果如圖8所示。二維徑向假設與實(shí)際的三維模擬結果相去不遠，而二維線(xiàn)坐標假設則與另外兩種差異不小，再次證明二維徑向簡(jiǎn)化之可行性。

        LED光萃取率的模擬在經(jīng)過(guò)二維徑向簡(jiǎn)化后，其所需之計算資源大幅度減少。通常三維模擬需要幾天的時(shí)間，在簡(jiǎn)化后只需要幾分鐘的模擬時(shí)間，并且占據更少的內存。

          本文介紹一種模擬LED非同調性與非特定偏振光源的常用偶極矩設計。另外，為了增加模擬的效率與節省模擬資源，經(jīng)過(guò)二維徑向簡(jiǎn)化后的模擬可以得到與三維模擬接近的結果，但卻可以節省數百倍的運算時(shí)間。利用RSoft FullWAVE和LED Utility，LED工程師可快速的將新的表面結構設計利用平面仿真方法測試其光萃取率之提升。但即使二維徑向簡(jiǎn)化是一個(gè)很有效率的簡(jiǎn)化，還是無(wú)法完全取代三維模擬。因此，LED工程師在使用二維徑向簡(jiǎn)化模擬后，可使用RSoft LED Utility來(lái)進(jìn)行最后三維結構仿真的測試，以確保其正確性。